世帯分離といっても、同世帯として住民票登録はされていないかもしれません。
また、住宅扶助の条件に
世帯人員からみてその住居が著しく狭いと認められる場合
病気療養上著しく環境条件が悪いと認められる場合又は身体障害者がいる場合であって設備構造が居住に適さないと認められる場合
住宅が確保できないため、親戚、知人宅等に一時的に身を寄せていた者が転居する場合
家主が相当の理由をもって立ち退きを要求し、又は借家契約の更新の拒絶もしくは解約の申し入れを行ったことにより、やむをえず転居する場合
離婚により、新たに住居を必要とする場合

などがあります。
引っ越し費用や、引っ越しに関して必要なガスレンジ・カーテン・シーリングライト・網戸は支給対象です。
ある程度金額が決まっているので、できる限り安いものを購入する必要があります。
手持ちの金額もあるかもしれませんが、できる限り安くしなくてはならないのはケースワーカーがだいたいの金額を伝えるのでその予算内に納めないと支給されないのです。