>>430
このthis timeは副詞で「今回は」という意味です。時間の表現にthisやlastなどがつくと、前置詞を置かなくても副詞の役割をします。

形容詞は副詞を修飾できないので、形容詞用法のto不定詞も副詞を修飾できません。

形容詞は名詞を修飾しますね。this timeは名詞でしょうか。
修飾語句は省略できますから、to tap ... the shoulderまでを省いてみます。
カンマの後に残った this time は名詞ですか。そうなら、センテンスの中でどんな役割になるのでしょう。

this timeが副詞であれば、this time自体も省略できますから、省略しても骨格は崩れません。

結局、this time も、to tap...も副詞・副詞用法の不定詞として、completingやstartingという準動詞を修飾しているというのが自然ですね。