>>668
>that はwhatの言い換えで、;that とか入れるべきなんですか

一応、そういう考え方でいいんじゃないでしょうか。
文法用語を使うなら、what the White House said （ホワイトハウスが言ったこと・
ホワイトハウスの主張）の中身を「同格」の形で説明したということでは？

[what the White House said] （ホワイトハウスが言ったこと・ホワイトハウスの主張）
イコール
[that the rank and file of the FBI had lost their confidence in James Comey]
（FBIの一般職員がジェームズ・コミーに対する信頼を失ったということ）

（この場合の that は普通の接続詞の that （〜ということ）です。
いわゆる「同格の that」というやつとは違う。いや、同じと見てもいいんですが、
このへんは文法学者によって分類の仕方がさまざまでしょう）

と、ここまで書いて後のレスを見たら、>>679氏が前半で同じ考え方をしていた。

動画では、what the White House said の後で一呼吸置いて that the rank 以下を
しゃべっていることも、この考え方を裏付けます。