文型は　SVOの　第三文型
they が　主語(S) manage が動詞（V)　to get 以下の不定詞句が　目的語（O)

文法を理解するとは　各単語の「品詞と働き」を理解することです。
なので一語づつの解説を以下に述べます。
How (品詞は疑問副詞、働きは動詞manage を動詞修飾、いかに、どのように）
did (品詞は助動詞、働きは　疑問文をつくる）
they ( 品詞は代名詞、働きは　主語 彼らは）
manage (品詞は動詞、働きは動詞　何とかやり遂げる）

to get の不定詞 以下の構造と各単語の内訳
get (V) Mako(O) awake (C)
get (品詞は動詞、働きは不定詞句内での動詞〜の状態にする）
Mako（品詞は固有名詞、働きは　目的語）
awake (品詞は形容詞、働きは　補語）
for the show の構造と働き　（各単語の内訳は省略）
for the show は前置詞句（構造）で　awake に掛かっているので副詞句（働き）

和訳　どうやって彼らはショーに対するマコ（の興味）を目覚めさせることが
　　　できたのですか？