>>835です
いろいろ調べて見たところ、file a report で報告書を提出する
put someone on で（人）を〜に取り次ぐ、（人）に〜を知らせる
という意味があるようです。なので、

Steve is going to file the report on the car, and he’ll put his people on it.

の意味は、スティーブが（ひき逃げした）車の報告書を（警察などに）提出して、それを彼の部下に知らせる、みたいな意味だと思います。

解説してくださった方のいう通りでした。
皆さんの説明のおかげで納得することができました。
ありがとうございました。