ちょっとググったけど>>104のようなケースで両親共に親権放棄することはできないみたいよ
離婚時に夫婦のどちらが親権者か決めないと離婚は受理されない
どちらかが親権持って施設に入れることはできるようだけど
もちろん親権放棄しても養育費は発生する

どこか間違いあったら詳しい人訂正願います