今さらながら気が付いたけど、こうやって表現してみると、
cos(x)とi*sin(x)って、式に現れる正負の符号が1つ違うだけなんだな。

(-1/2)*(-1/(-1)^(x/π)-(-1)^(x/π))=cos(x)
(-1/2)*(1/(-1)^(x/π)-(-1)^(x/π))=i*sin(x)