https://time-space.kddi.com/kddi-now/kddi-news/20160706/
これか。
昔のケータイ充電します！ 「おもいでケータイ タイムトラベル」

やり方としては、ケーブルでPCに繋いでデータ転送ソフトでコピーさせる方法しかない。
古いデータ転送ソフトを探し回れば可能かもしれないけど
そもそもソフトが最近のOSで動くかどうか、それにケーブルのドライバもあるのかどうか。
かなり長く放電していた端末の場合、データ自体が消えている可能性もあるし。

俺もダメ元でauショップに相談するのが一番いいと思う。
思い出のファイルが詰まっているから取り出したいという心情はよく解るし。
もしかしたら上記のイベントのショップなら、相談に乗ってくれるかも。