国松は妾腹だから元々厚遇されとらんよ。
千姫と秀頼の間に嫡男が生まれてたらものすごい速さで昇進していたはず。
あと家康の推挙とか関係ないから。
秀吉ですら朝廷との駆け引きをうまく利用して昇進して関白となったあとに
官位官職を自由に許認可するようになっている。
家康はそこまでの官職に達してないので不可能。
だからこそ天皇の義弟豊臣秀頼が関白に任官する前に殺す必要に迫られたに過ぎない。