共同親権でいいじゃん。話し合いで単独親権にしてもかまわないし。
べつに両親が結婚してるという法律上の前提いらないでしょ。
同居してたって法律上の他人で問題ないし、子の親が法律上で
確定してるのなら外部の第三者にとっては問題ないわけで。